Processo di prezzo scontato e martingale


processo di prezzo scontato e martingale

t F t S t E Q e r (t) S t F t e r t. Nel seguito considereremo sempre uno spazio di probabilita filtrato F, P F t ) t T ) con le seguenti ipotesi semplificatrici: - finito - T 0, 1,., N con N finito. Una strategia autofinanziante, tale che V t 0 per ogni t si dice ammissibile. E X t t X t F t Trasformazione di submartingale in martingale : scomposizione di Doob-Meyer Spesso i processi che si definiscono nella realtà non sono martingale, nel senso che i movimenti futuri non sono completamente imprevedibili, ovvero le variazioni medie non sono pari. Anche grazie ai contributi dati a questa teoria, Lèvy, Itô e Doob sono considerati tra i maggiori matematici del XX secolo. Chiaramente, la filtrazione standard é la pi piccola filtrazione rispetto a cui X é adattato. Dimostrazione: Naturalmente proprio per definizione di mercato libero da arbitraggio, per ogni strategia ammissibile, si ha che: se V 0 0 allora G N / C Ora sia ( 0,., k ) una strategia ammissibile generica, per l osservazione.2.

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3 Premesse Sia assegnato uno spazio di probabilità F, P). Indichiamo con X 0, X 1,. Sia: K : X C : E cdm dolmen studenti sconto P (X) 1 K é un compatto ed inoltre poiché K C si ha: ( ) K L ( ) K é convesso Per il teorema di separazione degli insiemi convessi (vedi Appendice B) esiste un fuzionale lineare. Sia X (X t ) t 0 un processo stocastico nello spazio F, P) e sia F t t 0 una filtrazione di tale spazio. Quindi: E P (G N ( ) (G N ( p ) 0 per ogni processo predicibile. Sia W (W t ) t 0,T un moto Browniano, con W t N( t, 2 t) (t 0) e sia (F t ) t 0,T la filtrazione standard per. 10 Utilizzo delle misure equivalenti di probabilità nella valutazione di un opzione Con questo esempio si vuole evidenziare come nella valutazione dei prezzi di attività finanziarie si utilizzi la trasformazione delle misure di probabilità sottostanti per convertire dei processi che non sono martingale in martingale. Dato un processo stocastico X (X t ) t 0 nello spazio F, P la filtrazione naturale per X è definita da F X t (x s, 0 s t. Dal momento che il prezzo S T non é noto al tempo t T, occorre considerare il valore atteso: E f T F t E max(0, ). Nel complesso si cercherà di verificare fino a che punto l uso dei processi martingale sia compatibile, in termini di congruenza, con le logiche sottostanti il funzionamento dei mercati finanziari ed inoltre si illustreranno le tecniche, utilizzate dalle moderne metodiche in materia di asset pricing.

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